Liceo Scientifico Belfiore

Introduzione alla "giornata della filosofia"

Il 25 maggio di quest'anno, nella prestigiosa cornice dell'Aula Magna dell'Università di Mantova, si è svolta la terza "Giornata della filosofia" organizzata dal Liceo Scientifico "Belfiore" a conclusione del concorso "Borsa di studio Giovanni Poltronieri". Come nelle passate edizioni, gli studenti erano stati chiamati a riflettere attraverso i loro scritti su un tema di filosofia che in questo caso affrontava l'ambito epistemologico e più precisamente quello dei rapporti fra verità matematiche e realtà fisiche; era stata infatti scelta una frase di Albert Einstein che poneva il seguente quesito: "Com'è possibile che la matematica, pur essendo fondamentalmente un prodotto del pensiero umano indipendente dall'esperienza, spieghi in modo così ammirevole le cose reali?"
Negli anni, l'interesse verso questo concorso si è sviluppato sempre più, tant'è che in quest'ultima edizione si sono presentati per affrontare la prova ben trentasette studenti delle classi quinte. Alla fine delle correzioni da parte dei docenti di filosofia, sono risultati vincenti gli elaborati degli alunni Giovanni Bocchi (primo classificato), Stefano Recanatesi (secondo classificato), Rossella De Poi (terza classificata) ai quali sono andati i premi concessi grazie al contributo della Provincia e del Comune di Mantova, amministrazioni che è bene ricordarlo, danno all'iniziativa anche il loro patrocinio. Durante la "Giornata della filosofia" davanti a tutti gli studenti delle classi quinte sono stati consegnati i premi ai vincitori da parte degli assessori Federici Canova (Amm.ne Prov.le) e Aldini (Amm.ne Com.le) ma, soprattutto, si è potuto riprendere il tema affrontato sia attraverso la lettura dei tre scritti premiati sia attraverso la relazione del Prof. Arrigo Bonisoli docente di Matematica presso l'Università di Modena-Reggio ed ex studente del nostro istituto.
Della "Giornata" diamo conto attraverso questa modesta pubblicazione (divenuta anch'essa ormai parte integrante della manifestazione) che riporta i tre elaborati vincitori; purtroppo, per ragioni tecniche, non ci è possibile allegare anche la relazione del prof. Bonisoli.
A conclusione non ci si può esimere dai ringraziamenti che vanno agli Enti locali per il sostegno che continuano a dare alla nostra manifestazione, ma soprattutto è doveroso un particolare pensiero all'Università che ci ha accolti grazie alla gradita presenza del prof. Ledo Stefanini che ci ha accompagnato per tutta la cerimonia; la nostra speranza è che la collaborazione iniziata quest'anno possa proseguire.

Prof. Roberto Melli

BORSA DI STUDIO PROF. GIOVANNI POLTRONIERI
TRACCIA
a.s. 2006/2007
Com'è possibile che la matematica, pur essendo fondamentalmente un prodotto del pensiero umano indipendente dall'esperienza, spieghi in modo così ammirevole le cose reali?
ALBERT EINSTEIN
in: E. T. BELL, I grandi matematici, Milano, Sansoni, 1997, pag. VII

PROVA PRIMA CLASSIFICATA
DI GOVANNI BOCCHI 5D

LA MATEMATICA: UN SUPPORTO DELLA SCIENZA TRA RAZIONALE ED EMPIRICO

In una frase da lui pronunciata e divenuta celebre, Albert Einstein si chiede come sia possibile che la matematica riesca a spiegare in modo così esauriente la realtà. È significativo che sia proprio l'ideatore della teoria della relatività a porsi questa questione: in effetti tale teoria, oltre a fornire un nuovo eccellente modello fisico (un nuovo paradigma scientifico, per dirlo in termini epistemologici) e scardinare la fisica tradizionale, si inserisce nel clima complessivo di smarrimento e rinnovamento culturale e scientifico del primo Novecento che viene convenzionalmente definito "crisi delle certezze". La formulazione della teoria, guarda caso, si basa su un linguaggio matematico.
La domanda di Einstein, dunque, non è del tutto scontata. Oggi la matematica, nonostante l'opinione comune l'abbia sempre ritenuta un processo mentale puramente astratto, sostanzialmente arido e inutile, viene applicata nei contesti concreti più disparati. Indubbiamente, questo appare come un controsenso: come possiamo essere sicuri che attraverso un approccio matematico alla realtà la si possa descrivere? La matematica è davvero un supporto valido per la fisica e per tutti gli altri saperi che hanno come oggetto la realtà? Molti risponderebbero affermativamente e questo è ancora il parere maggiormente condiviso: già Galileo parlava di un "gran libro della natura" scritto in caratteri matematici. Tuttavia, nella storia della filosofia occidentale, c'è chi ha smentito il carattere universale della matematica. Sulla base di ciò, sarebbe impossibile l'utilizzo di strumenti matematici in contesti che esulano dalla matematica stessa.
Altro problema implicitamente posto da Einstein e filosoficamente più pregnante è il rapporto tra esperienza e ragione. La scienza si fonda sulla nostra razionalità o sui nostri sensi? La nostra mente e i suoi processi hanno un effettivo collegamento con l'esperienza?
Si potrebbero citare innumerevoli tesi al riguardo: il conflitto tra empiristi e razionalisti anima tutta la storia della filosofia a partire da Platone e Aristotele e si intensifica durante la rivoluzione scientifica del Cinque - Seicento, passando da Hume a Leibniz. In alcuni casi, come per esempio in Galileo e Bacone, il "metodo scientifico" attraverso il quale la realtà dovrebbe essere analizzata fa affidamento sia sui dati sensibili che sulle facoltà intellettive dell'uomo.
Per ciò che riguarda il problema della matematica, i termini sono i medesimi: come possiamo avere la certezza che esista realmente un fondamento aritmetico o algebrico della realtà? C'è una sorta di Volontà che ha creato l'universo su basi geometriche (come nel caso del Demiurgo platonico) o è l'uomo che ha modellato la geometria sulla base di ciò che ha visto?
Probabilmente è proprio la mediazione la via più corretta per risolvere il problema: è un'ipotesi storicamente molto accreditata che i numeri siano nati per esigenze economiche, in seguito allo sviluppo del commercio. Sin dall'antichità l'uomo ha cercato uno strumento che, prima di tutto, lo aiutasse nella vita quotidiana, poi che desse un ordine e una spiegazione razionale ai fenomeni. Uno strumento che l'uomo ha identificato con la comodità e l'esattezza della matematica. La sua origine, dunque, sarebbe empirica. Tuttavia, è impossibile pensare che esista un metodo di conteggio delle unità senza un'idea di unità o un'idea di conteggio. In altre parole, la creazione di una matematica è impossibile senza una mente che la regola, che ne stabilisce i principi, che ha prima di tutto una coscienza della singolarità e della molteplicità. Se tale coscienza non esistesse, nemmeno la matematica esisterebbe.
La matematica, in conclusione, ha una dimensione razionale predominante, ma anche una base empirica. Ed è proprio grazie alla nostra coscienza che possiamo cercare nella realtà sensibile un fondamento matematico. Che questo sia vero o solo una rassicurante illusione razionalistica, non ci è dato saperlo.

PROVA SECONDA CLASSIFICATA
di Stefano Recanatesi 5A

PERCHÉ LA MATEMATICA

Che la matematica spieghi così bene il mondo sembra paradossale. Che i suoi modelli, le sue teorie, viste come semplici speculazioni della mente possano essere utilizzati per l'interpretazione della realtà appare impossibile. Tuttavia se si assume che veramente la matematica è uno strumento del pensiero e che essa descrive il reale, allora si instaura una netta corrispondenza tra il pensiero stesso e la realtà.
D'altro canto si potrebbe ritenere che il reale si adatti alla mente e che non sia la mente ad interpretarlo direttamente. Questa ipotesi per cui la realtà si adatterebbe alle forme, alle categorie della mente è kantiana e in tale ipotesi il soggetto disporrebbe di strutture matematiche alle quali il reale si adatterebbe nel processo conoscitivo.
Questi due modelli danno già una risposta al perché la matematica descriva il reale ma entrambi assumono che l'individuo disponga di strutture matematiche perfette, innate nel soggetto.
Ma è veramente così? Il nostro pensiero dispone effettivamente di tali strutture ?
Nella storia della filosofia sono molti i filosofi che hanno supportato tale ipotesi, la matematica è considerata da millenni la scienza esatta perfettamente fondata e perfettamente chiusa in sè in maniera circolare, il perfetto e naturale fluire del pensiero puramente logico; ma è veramente questa la matematica?
Einstein stesso utilizza il fatto che essa sia "un prodotto del pensiero umano": questo vuol dire che essa è puro pensiero, pura logica e quindi non può compiere passi falsi?
Il Novecento ha in realtà messo in luce molti aspetti della matematica che sembrano controvertire tale ipotesi.
Il Novecento ha infatti portato la matematica ad affrontare faccia a faccia il problema dei fondamenti su cui essa si basa.
Per moltissimi secoli i celebri assiomi di Euclide sono sembrati inconfutabili e sufficienti per fondare qualsiasi teoria. Poi però la matematica ha fatto corrispondere la geometria con l'algebra, l'algebra con l'aritmetica e l'aritmetica con la logica, fino a che con questa successione di identità non si è arrivati ad un punto cruciale in cui le basi poste inizialmente (e comunque successivamente modificate e fortificate) non sono più state sufficienti.
Il problema dei fondamenti della matematica (posto da Hilbert come uno dei ventitrè problemi irrisolti agli albori del '900) venne risolto in maniera del tutto inaspettata da Kurt Godel nel 1922.
Il teorema di incompletezza di Godel dimostra non soltanto che la teoria matematica in voga al suo tempo non era consistente, ma che qualsiasi teoria che tenti di fondare i punti chiave della matematica è inconsistente poiché non è dimostrabile, ovvero non è logicamente deducibile se non dal suo interno.
Questo è un punto chiave poiché ha visto crollare quel pilastro, quel caposaldo della teoria che era appunto la sua circolarità, la sua perfezione, la sua inappuntabilità.
A seguito di questa scoperta nel Novecento sono stati avanzati altri modelli, si è passati dalla logica alla teoria degli insiemi, dagli insiemi alle strutture e ancora dalle strutture alle categorie ma sempre nella consapevolezza che una qualsiasi di queste teorie sarà superata da quella successiva in un processo che durerà per sempre con un continuo susseguirsi di paradigmi.
Ora che si è in grado di comprendere quale sia la consapevolezza della matematica stessa nel mondo odierno e in che misura differisca dalla concezione "classica" che è durata fino al tempo di Einstein è forse possibile considerare se effettivamente la matematica sia o no il frutto del pensiero e se essa corrisponda col mondo reale:
- se la matematica fosse puro pensiero non avrebbe bisogno di migliorarsi secondo un procedimento a ritroso, ovvero riformulando le ipotesi inizali (i fondamenti) per procedere e andare avanti, ma seguirebbe un andamento lineare deduttivo.
- se vi fosse invece la corrispondenza tra mondo e pensiero del soggetto basterebbe porre delle fondamenta logiche e mai nessuno sarebbe in grado di dimostrare al soggetto che tali ipotesi sono false, poiché le forme del pensiero dovrebbero essere immutabili.
Ma allora è necessario trovare una relazione che interpreti il rapporto evidenziato da Einstein in modo alternativo a quelle proposte.
L'ipotesi più plausibile è allora che le strutture utilizzate da ogni mente non siano innate, non siano matematiche, non siano strettamente logiche ma semplicemente siano in grado di creare e attenersi a determinate strutture frutto della moltemplicità critica di più pensieri. Ovvero che la sola mente umana, pur non potendo generare un sistema di relazioni compiuto in sé, riesce nella comunità, all'interno di un pluralismo teorico (come quello proposto da Feyerabend) a creare delle strutture in grado di mediare tra sé e il reale.
Tali strutture sono prima di tutto delle strutture di linguaggio.
Il linguaggio come prodotto artificiale della pluralità, come convenzione critica della comunità è in grado di adempiere alla funzione di mediazione tra il pensiero e il reale.
Il linguaggio in questa visione è il tappeto su cui l'uomo poggia i piedi per essere a contatto col reale.
Il pensiero umano infatti per quanto possa fluire liberamente nella mente umana non è in grado di esprimersi se non per mezzo di una lingua o di un sistema di segni. In questo passaggio il pensiero deve conformarsi a tale medium e deve essere in grado successivamente di guidare tale medium a confrontarsi col reale e di utilizzarlo per sondare il reale stesso.
Con questo procedimento l'uomo si confronta col reale.
Queste relazioni sono giustificate da molte filosofie, ma in particolare trovano riscontro nel pensiero di Popper e di Wittgenstein
- nella teoria dei mondi Popper sottolinea come il cuore del mondo 3 (il mondo dei pensieri, delle idee, dei concetti) sia il linguaggio: "Il cuore di tale mondo è il linguaggio". Popper stabilisce una netta relazione tra pensiero e linguaggio, non una vera e propria identità, ma proprio una sorta di legame insscindibile tra l'uno e l'altro elemento, come se il linguaggio fosse effettivamente il primo interprete del pensiero.
- nel Tractatus Wittgenstein arriva addirittura a teorizzare l'identità tra mondo e linguaggio. Il linguaggio di Wittgenstein è il reale proprio nel senso che noi, come uomini, percepiamo il reale solo attraverso il linguaggio. Se allora Popper giustifica l'isomorfismo tra pensiero e linguaggio e Wittgenstein giustifica l'isomorfismo tra linguaggio e reale, si viene a creare una catena di relazioni tra pensiero - linguaggio - realtà che è alla base del processo conoscitivo. Pur rimanendo tre entità distinte, pensiero, linguaggio e realtà interagiscono e il fatto che Wittgenstein e Popper avessero due concezioni del linguaggio per certi punti di vista diverse qui non è rilevante poiché si fa riferimento al linguaggio semplicemente come struttura.
Definito questo si può, recuperando la domanda di Einstein, rispondere del ruolo della matematica nel processo conoscitivo e nei confronti del reale.
La matematica non sarebbe prima di tutto il frutto del pensiero ma il prodotto della razionalità collettiva, la matematica sarebbe il suo linguaggio, e questo non è che uno dei tanti linguaggi dell'uomo, una delle tante strutture che esso utilizza per indagare il reale.
Il fatto che, come sottolinea Einstein, il linguaggio matematico "spieghi in modo così ammirevole le cose reali" a differenza di altri linguaggi è dovuto alla sua stessa funzione. Esso è il prodotto dell'uomo volto proprio ad indagare le leggi del reale, non alla comunicazione con gli altri come può essere per il linguaggio comune o all'indagine del pensiero stesso come può essere per la filosofia, ma esso è sorto proprio ai fini di interpretare e sondare il reale.
Forse si può avere qualche esitazione ad accettare tale considerazione senza critiche, ma se si pensa al mondo greco e alla matematica "classica" essa era l'unico strumento di indagine del reale e anche oggi, nonostante siano sorti altri campi come la fisica, la biologia, la neurlogia…, la matematica rimane il linguaggio di cui tali scienze fanno uso. Queste scienze si distinguono tra loro per il fatto che hanno sviluppato altri linguaggi o microlinguaggi da accostare alla matematica come loro strumento di indagine, ma ciò non toglie che essa rimanga il linguaggio più evoluto e utilizzato dalla scienza.
La risposta alla domanda di Einstein è dunque che la matematica spiega le cose reali poiché è la sua funzione e le speculazioni in essa presenti, per quanto teoretiche possano apparire, sono e saranno sempre chiarificazioni logiche del suo linguaggio.

PROVA TERZA CLASSIFICATA

di DE POI ROSSELLA 5F

LA MATEMATICA DELL'UOMO

Per procedere ad un'analisi approfondita del problema posto dal fisico Einstein occorre ripercorrere il cammino che ha portato la disciplina matematica ad assumere un ruolo di così grande rilievo in tutti i campi della scienza.
In origine l'uomo viveva a contatto quotidiano con la natura e per assicurare la sopravvivenza della specie non aveva altra risorsa a cui attingere all'infuori di essa. Tuttavia,per poter soddisfare i suoi bisogni primari ed essenziali (procurarsi cibo, protezione, calore..ecc.) si trovò presto a dover lottare duramente contro le impervie del mondo esterno e per non esserne vinto dovette a modo suo escogitare dei sistemi efficaci di tutela personale e collettiva. In questo quadro, seppur molto generico, si inserisce anche la necessità di adottare sistemi numerici di riferimento. Così, per citare un esempio molto semplice,il pastore, per poter mantenere un controllo sul suo gregge, capì che se avesse trovato un modo per sapere sempre quante erano le pecore e soprattutto se ne mancavano,ciò gli avrebbe giovato molto. Così iniziò a tracciare tacche sul proprio bastone,ciascuna indicante una singola pecora, e ogni volta che le portava al pascolo controllava che ci fossero tutte confrontando le tacche con gli animali. In seguito, alle tacche si sostituirono segni particolari, simboli che racchiudevano in sé concetti condivisi da tutta la specie: i numeri. Il procedimento consisteva in definitiva nell'associare ad una molteplicità di elementi (o ad un'unità) un concetto che li rappresentasse. Notiamo come fin da ora emerga la primitiva funzione pratica del numero come entità astratta,di matrice dunque intellettiva, posto dall'uomo come sostegno alla propria attività lavorativa. E' utile comunque ricordare che si tratta pur sempre di una convenzione,una norma che riflette la particolarità del reale in un simbolo inventato.
Non possiamo tuttavia fermarci al semplice concetto di numero: l'uomo nel corso dell'esperienza ha utilizzato il numero per effettuare operazioni molto più complesse. Patendo da addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione,le forme più elementari,si è passati via via a sistemi di operazioni sempre più articolate. Va sottolineato come anche nella complessità acquisita mano a mano dai procedimenti matematici permanesse in primo luogo una base empirica, una sorta di collegamento alle esigenze di tipo concreto. Basti pensare a come tutt'oggi per spiegare ai bambini cosa sia per esempio l'addizione si faccia ricorso ad esempi quotidiani e materiali. Procedendo nell'attività astrattiva troviamo dunque forme matematiche sempre meno elementari,ma non dobbiamo pensare che esse proseguano, per così dire, su un binario separato dalla realtà. Esse,al contrario, mantengono in sè le stesse forme primitive di calcolo ma ne unificano i contenuti, ne fanno una struttura organica, creano corrispondenze e associazioni. Così in un'espressione algebrica troviamo ancora tutti i concetti matematici di base, ma uniti a formare un' "impalcatura" più articolata.
E' tuttavia lecito porsi alcune domande, per non correre il rischio di semplificare troppo la questione. Oggi come oggi la matematica ha compiuto molti passi avanti rispetto all'"origine". Siamo in possesso di strumenti sempre più complessi e distanti da quello che potrebbe sembrare il reale, che appartengono cioè in maniera più specifica al campo dell'astrazione. Sorge dunque spontaneo chiedersi fino a che punto una disciplina di tale genere possa effettivamente corrispondere al manifestarsi degli eventi. In questo ambito potrebbe essere d'aiuto appellarsi ad un'altra scienza, fondamentale per lo studio del reale: la fisica. Matematica e fisica, sono strettamente collegate tra loro. In particolare, la fisica si occupa di osservare, analizzare, studiare ed infine dare un'interpretazione razionale degli eventi naturali. E' proprio l'ultima fase dell'analisi fisica che ci interessa in particolar modo. Interpretare l'evento non significa soltanto "capirlo", ossia comprenderne le cause e riuscire a spiegarne lo sviluppo,significa anche descriverlo (e scriverlo!) in modo univoco e chiaro. In una cultura scritta come la nostra questo passaggio è di fondamentale importanza poiché permette di lavorare seguendo una sorta di "filo conduttore" della scienza, rivedendo e re-interpretando le conclusioni cui altri studiosi sono giunti anche a distanza di molti secoli.
Tornando alla matematica, è proprio questa disciplina che permette alla fisica di avere a disposizione gli strumenti per descrivere un fenomeno. Siamo abituati a pensarla il più delle volte come una materia fine a sé stessa, per la sua componente prettamente intellettiva,in realtà, a ben guardare, ci accorgiamo che essa trae il suo maggior impulso proprio dalla scienza del reale. Essa prosegue nel suo sviluppo creando strumenti nuov
a seconda delle necessità e delle richieste che la fisica le pone. Ciò non significa che essa operi solo in funzione della risoluzione di problemi di natura fisica, poiché essa approfondisce e risolve soprattutto problemi di tipo intellettivo: essa cioè "crea" e risolve problemi servendosi dei propri strumenti senza scopi di tipo immediato. Il rapporto con la fisica si concretizza diversamente: nel momento in cui viene introdotto un operatore di tipo matematico nuovo per esempio, questo non viene creato, per così dire,"dal nulla", ma è il risultato e la risposta di un problema precedentemente posto.
Si ricompone in questo modo l'intrinseco legame della scienza matematica con l'empirico,in quanto ancora una volta essa tenta di trovare simbologie convenzionali e procedimenti universali adatti a descrivere una certa situazione della realtà,costruita,come abbiamo detto, su basi di natura fisico- speculativa. Questo discorso ha come finalità principale il dimostrare che la corrispondenza fra ciò che definiamo "reale" e la proiezione di esso nella nostra mente in forma matematica non è casuale, poiché è l'uomo stesso a prefiggersi l'obiettivo di rendere conto dell'esperienza tramite l'astrazione, la quale nasce come il tentativo di creare un sistema razionale omogeneo al cui interno possano trovare significato il maggior numero di esperienze possibili. Sotto tale ottica questa affermazione va contro l'opinione del grande Einstein, il quale la definisce come "un prodotto del pensiero umano indipendente dall'esperienza". Certo, come scienza in sé la possiamo considerare separata dall'esperienza, ma non dobbiamo dimenticarne le radici e la sua prima ragion d'essere.
Si pone ora un ulteriore problema, già trattato in più occasioni dai filosofi moderni: in che misura possiamo affidarci alla nostra conoscenza del reale come base per la comprensione dello stesso? Popper stesso definiva la scienza utilizzando l'immagine della palafitta, per descrivere la fragilità e l'inconsistenza delle basi del nostro sapere.
Tuttavia proprio la palafitta,eretta su un terreno fangoso e poco stabile, finché il suolo la sostiene resta in piedi. Così,l'uomo non potrà mai assicurarsi una perfetta corrispondenza tra gli schemi razionali che si costituiscono nella sua mente e l'effettiva realtà ma finché troverà confermate le proprie convinzioni non avrà motivo di abbandonare l'assetto su cui si fondano. La matematica in questo senso riveste una posizione molto particolare. Se infatti abbiamo detto che essa dovrebbe rendere conto della realtà in ogni sua forma, è anche vero che se la prendiamo come scienza in sé,separata dal reale, essa sarà sempre verificata, perchè nasce su principi logici sempre e comunque veri e coerenti. Per quanto riguarda la fisica invece,essa nel proprio percorso deve necessariamente scontrarsi con il fatto concreto e solo nel momento in cui gli assetti teorici di cui dispone non verifichino più certe esperienze reali essa deve necessariamente cambiare strada e cercare spiegazioni e strumenti validi a descrivere il fenomeno dato. In definitiva, possiamo considerare la matematica quale una scienza in grado di rendere conto (secondo quanto appare alla nostra ragione) del reale,il tentativo dell'uomo di incanalare le diverse prospettive del reale in un percorso logico organico e coerente, ma non possiamo escludere la possibilità di scoprire un giorno aspetti del reale che non corrispondano a questo "schematismo". In tal caso,la fisica dovrà farsene carico e, se sarà necessario,chiedere l'aiuto della matematica per la creazione di nuovi strumenti in grado di descrivere in nuovo aspetto del reale appena individuato.